Gọi 5 số nguyên dương đã cho là K1, K2, K3, K4, K5 (phân biệt từng đôi một).Ta có :

K1 = 2^(a1).3^(b1)

K2 = 2^(a2).3^(b2)

K3 = 2^(a3).3^(b3)

K4 = 2^(a4).3^(b4)

K5 = 2^(a5).3^(b5)

(a1,a2,a3,... và b1,b2,b3,... đều là số tự nhiên)

Xét 4 tập hợp sau :

+ A là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m lẻ, n lẻ)

+ B là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m lẻ, n chẵn)

+ C là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m chẵn, n lẻ)

+ D là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m chẵn, n chẵn)

Rõ ràng trong 5 số K1, K2, K3, K4, K5 chắc chắn có ít nhất 2 số thuộc cùng 1 tập hợp ví dụ Ki và Kj

Ki = 2^(ai).3^(bi) và Kj = 2^(aj).3^(bj) ---> Ki.Kj = 2^(ai+aj).3^(bi+bj)

Vì Ki và Kj thuộc cùng 1 tập hợp ---> ai và aj cùng tính chẵn lẻ, bi và bj cùng tính chẵn lẻ ---> ai+aj và bi+bj đều chẵn ---> Ki.Kj = 2^(ai+aj).3^(bi+bj) là số chính phương.

------------------------------------------------------------------------------

Bạn đọc kỹ đề đi ! Mỗi số trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3, nghĩa là khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ có các lũy thừa của 2 và 3 (không có mặt các thừa số nguyên tố khác), và các số đó dĩ nhiên phải chia hết cho 2 và 3.