Gọi số thứ  nhất là n, số thứ hai là n+1, ƯC(n,n+1)=a

Ta có: n chia hết cho a(1)

       n+1 chia hết cho a(2)

Từ (1) và (2) ta được:

n+1-n chia hết cho a

=> 1 chia hết cho a

=> a=1

=> ƯC(n,n+1)=1

=> n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau 
b,

Gọi UCLN(5n+1;6n+1) là a

Ta có:5n+1 chia hết cho a

         6n+1 chia hết cho a

=>6(5n+1) chia hết cho a

    5(6n+1) chia hết cho a

=>30n+6 chia hết cho a

    30n+5 chia hết cho a

=>30n+6 -(30n+5) chia hết cho a

 =>        1            chia hết cho a

=>a=1

Vậy 5n+1 và 6n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau vì UCLN của chúng =1.
c,S=31+32+33+.....+3100S=31+32+33+.....+3100 =(31+32+33+34)+(35+36+37+38)+...+(397+398+399+3100)=(31+32+33+34)+(35+36+37+38)+...+(397+398+399+3100)

=120+35.(31+32+33+34)+....+397.(31+32+33+34)=120+35.(31+32+33+34)+....+397.(31+32+33+34)

=1.120+35.120+...+397.120=1.120+35.120+...+397.120
d,

Chứng minh (102015+8) chia hết cho 18

Đặt A = (102015+8) 

A= 1000...0+8 (2015 chữ số 0)

A= 1000...08 (2014 chữ số 0)

Mà A có tổng các chữ số: 1+0+0+...+0+8 (2014 chữ số 0)

Tống các chữ số của A là 9 ⇒ A chia hết cho 9    (1)

Và A có số tận cùng là 8 (số chẵn) 

⇒ A chia hết cho 2   (2)

Từ (1)&(2) ta suy ra

(102015+8) chia hết cho 18
e,Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc p chia cho 3 dư 2; nhưng vì p + 4 là số nguyên tố nên p chia 3 dư 2 loại.

Xét p chia cho 3 dư 1 nên p có dạng p = 3k + 1. Khi đó p + 8 = 3k + 9 = 3.(k + 3) chia hết cho 3 mà p + 8 > 3 nên p + 8 là hợp số (thỏa mãn).

=(1+35+...+397).120=(1+35+...+397).120

⇒S⋮120