Để tính số cách lấy ra 3 bi vừa khác màu vừa khác số từ hộp chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, ta sẽ áp dụng nguyên tắc cộng và nguyên tắc nhân.

Đầu tiên, ta tính số cách chọn 1 bi từ mỗi màu. Có 7 cách chọn 1 bi xanh, 5 cách chọn 1 bi đỏ và 6 cách chọn 1 bi vàng. Tổng số cách chọn 1 bi từ mỗi màu là 7 x 5 x 6 = 210 cách.

Tiếp theo, ta tính số cách chọn 2 bi từ 2 màu khác nhau. Có 3 cặp màu khác nhau: xanh - đỏ, xanh - vàng, đỏ - vàng. Với mỗi cặp màu, ta có 7 cách chọn 1 bi từ màu thứ nhất và 5 cách chọn 1 bi từ màu thứ hai. Tổng số cách chọn 2 bi từ 2 màu khác nhau là (7 x 5) + (7 x 6) + (5 x 6) = 35 + 42 + 30 = 107 cách.

Cuối cùng, ta tính số cách chọn 3 bi từ 3 màu khác nhau. Có 3 màu khác nhau, nên ta có 7 x 5 x 6 = 210 cách chọn.

Tổng số cách lấy ra 3 bi vừa khác màu vừa khác số là 210 + 107 + 210 = 527 cách.