a) Xét tứ giác ABNM có :
góc BAC= 90 độ ( gt )
góc MNB = 90 độ vì góc MNC = 90 độ ( góc nội tiếp chan nửa đường tròn)
=> góc BAC + góc MNB = 180 độ
=> tứ giác ABNM nội tiếp đc đường tròn
Xét tứ giác ABCI:
góc BAC= 90 độ
góc BIC = 90 độ ( góc nội tiếp chan nua duong tron)
=> A và I cũng nhìn BC dưới 1 góc vuông
=>Tu giac ABCI noi tiep dc duong tron
b)Ta co: goc ANM= goc ABM ( cung chan cung AM)
goc INM = goc ICM ( cung chan cung IM)
Ma goc ABM= goc ICM ( cung chan cung AI)
=>goc ANM= goc INM
Vay : NM là tia phân giác của góc ANI.
c) Ta co : tam giac BNM ~ tam giac BIC(g-g)

=>BM/BC=BN/BI
=>BM.BI=BC.BN (1)
mặt khác: tam giác MNC ~ tam giác BAC(g-g)
=>CM/BC=CN/CA
=>CM.CA=BC.CN (2)
Tu (1) va (2), suy ra:
BM.BI +CM.CA= BC.BN+BC.CN=BC(BN+CN)=BC.BC=BC^2
Ma BC^2=AB^2+AC^2 ( D/l Pytagore)
Vay: BM.BI+CM.CA=AB^2+AC^2