Trước tiên, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong căn của mỗi dấu căn. Để làm được điều này, ta cần sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho từng dấu căn:

Đối với căn (2a^4/a^2+7b^2+10ab), áp dụng AM-GM, ta được:

2a^4/a^2 + 7b^2 + 10ab >= 3(căn(2a^4/a^2 * 7b^2 * 10ab)) = 3(căn(140a^3b))

Vậy căn (2a^4/a^2+7b^2+10ab) >= căn(140a^3b)/a

Tương tự, ta cũng có:

căn (2b^2/b^2+7c^2+10bc) >= căn(140b^3c)/b

căn (2c^2/c^2+7a^2+10ca) >= căn(140c^3a)/c

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức p là:

p = căn(140a^3b)/a + căn(140b^3c)/b + căn(140c^3a)/c >= 2căn(140abc)

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của p đạt được khi a=b=c=674. Điều này có thể được thấy bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

(a^2+7b^2)/2 + 5ab/2 >= căn(a^2 * 7b^2 * 5ab) = căn(35a^3b^3)

Tương tự, ta có:

(b^2+7c^2)/2 + 5bc/2 >= căn(b^2 * 7c^2 * 5bc) = căn(35b^3c^3)

(c^2+7a^2)/2 + 5ca/2 >= căn(c^2 * 7a^2 * 5ca) = căn(35c^3a^3)

Tổng cộng, ta có:

(a^2+7b^2)/2 + (b^2+7c^2)/2 + (c^2+7a^2)/2 + 5ab/2 + 5bc/2 + 5ca/2 >= 2(căn(35a^3b^3) + căn(35b^3c^3) + căn(35c^3a^3))

Tương đương với:

2(a^2+b^2+c^2) + 15(ab+bc+ca) >= 2(căn(35a^3b^3) + căn(35b^3c^3) + căn(35c^3a^3))

Ta biết rằng:

a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 2022^2 - 2