Bài 3:

a) Để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 4x + 3, hệ số góc của đường thẳng (d) phải bằng hệ số góc của đường thẳng y = 4x + 3.

Hệ số góc của đường thẳng y = 4x + 3 là 4.

Vậy, ta có:

m2 + 3 = 4

m2 = 1

m = ±1

Vậy, hệ số góc của đường thẳng (d) cần tìm là m = 1 hoặc m = -1.

b) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là

d = |b| / √(m2 + 1)

trong đó b là hệ số chặn của đường thẳng (d).

Hệ số chặn của đường thẳng (d) là giá trị y khi x = 0, ta có:

y = (m2 + 3)x + 4 = (m2 + 3)(0) + 4 = 4

Vậy, b = 4.

Ta cần tìm giá trị của m để d đạt giá trị lớn nhất.

Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực đại của hàm số d theo m.

Đặt f(m) = |b| / √(m2 + 1) = 4 / √(m2 + 1)

Khi đó, ta có:

f'(m) = -2m / (m2 + 1)3/2

f'(m) = 0 ⇔ m = 0

Để kiểm tra xem điểm m = 0 là điểm cực đại, ta sử dụng đạo hàm 2 lần:

f''(m) = 6m2 - 2 / (m2 + 1)5/2

f''(0) = -2 < 0

Vậy, điểm m = 0 là điểm cực đại của hàm số f(m).

Vậy, giá trị lớn nhất của khoảng cách d là:

f(0) = 4 / √1 = 4.

Khi đó, m = 0 là giá trị cần tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn nhất.