Giả sử trong tam giác ABC, cạnh AB lớn hơn cạnh AC, ta cần chứng minh rằng đường cao từ đỉnh A ứng với cạnh AC (ký hiệu là AH) có độ dài nhỏ hơn đường cao từ đỉnh A ứng với cạnh AB (ký hiệu là AK).

Ta có thể dùng công thức tính độ dài đường cao trong tam giác:

• Độ dài đường cao AH: $AH = \frac{2S}{AC}$ (với S là diện tích tam giác ABC)
• Độ dài đường cao AK: $AK = \frac{2S}{AB}$

Do đó, để chứng minh rằng AH < AK, ta cần chứng minh $\frac{S}{AC} < \frac{S}{AB}$, hay $\frac{1}{AC} < \frac{1}{AB}$.

Vì AB > AC, nên ta có $\frac{1}{AB} < \frac{1}{AC}$, điều này đồng nghĩa với $\frac{S}{AB} > \frac{S}{AC}$.

Kết hợp với công thức tính độ dài đường cao ở trên, ta suy ra được AK > AH. Vậy ta đã chứng minh được rằng trong một tam giác, đường cao ứng với cạnh nhỏ hơn có độ dài lớn hơn đường cao ứng với cạnh lớn hơn.