Để chứng minh tam giác EMF đồng dạng với tam giác AKB, ta cần chứng minh:

1. Hai góc của tam giác EMF và AKB bằng nhau
2. Hai góc khác của tam giác EMF và AKB lần lượt bằng hai góc khác của tam giác AKB và EMF.

Bước 1: Ta có:

Góc AKB = góc AMF (vì AB//EF) Góc BKA = góc FME (do AM và MB là đường kính của đường tròn (O) và (I) tương ứng) Góc EFM = góc AKF (do cùng bù với góc AMB)

Như vậy, hai góc của tam giác EMF và AKB bằng nhau.

Bước 2: Ta cần chứng minh:

Góc MEF = góc BKA Góc EMF = góc AKF

Vì tam giác AKB và EMF đồng dạng nên ta có tỉ số đồng dạng:

$\frac{AK}{AB}=\frac{EB}{MB}$

Mà $\frac{EB}{MB}=\frac{EF}{AM}$ (do đường tròn (O) và (I) có đường kính lần lượt là AM và MB)

Do đó, ta có:

$\frac{AK}{AB}=\frac{EF}{AM}$

$\frac{AK}{AK+KB}=\frac{EF}{AF}$ (do AK+KB=AB và AF=AM+MF)

$\frac{AK}{AK+KB}=\frac{EF}{AK+MF}$

$\frac{AK}{AK+KB}=\frac{MF}{AK+MF}$

$\frac{AK}{AK+KB}=\frac{MF}{MB}$ (do AK+MF=AM và MB là đường kính của đường tròn (I))

Ta có:

Góc MEF = góc MEA + góc AEF = góc MBK + góc AMF = góc BKA

Góc EMF = góc MEB + góc BEF = góc BKA + góc AKF

Như vậy, hai góc khác của tam giác EMF và AKB lần lượt bằng hai góc khác của tam giác AKB và EMF.

Vậy, tam giác EMF đồng dạng với tam giác AKB.