a) Chứng minh tứ giác AHMK nội tiếp đường tròn.

Ta có AM là dây của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, do đó góc AOM bằng góc ACB (cùng chắn cung AM). Mà góc ACB bằng 90 độ (do tam giác ABC nhọn), vì vậy góc AOM bằng 90 độ.

Tương tự, ta có góc HOM = góc HBC (cùng chắn cung HM) và góc KOM = góc KCB (cùng chắn cung KM).

Vì vậy, tứ giác AHMK có 4 góc riêng biệt, trong đó 3 góc đã được chứng minh bằng cách so sánh với các góc tương ứng trong tam giác ABC. Vậy tứ giác AHMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh MH.MC = MK.MB.

Do tứ giác AHMK nội tiếp đường tròn, ta có AM là đường đường chéo của tứ giác AHMK, vì vậy góc HKM bằng góc HAM (cùng nửa mặt cầu). Tương tự, góc HMK bằng góc MAB.

Trong tam giác BKM, ta có:

• sin(BKM) = sin(HMK) (vì góc BKM bằng 180 - góc HKM, còn góc HMK đã được chứng minh bằng tính chất của tứ giác AHMK)
• sin(MBK) = sin(MAB) (vì góc MBK bằng 180 - góc MAB, còn góc MAB bằng góc HMK đã được chứng minh)

Nhân hai vế của cả hai phương trình trên ta có:

sin(BKM).sin(MBK) = sin(HMK).sin(MAB)

Áp dụng công thức sin của góc kép, ta có:

2sin(BKM).sin(MBK) = 2sin(HMK).sin(MAB)

Vậy:

cos(BK - BM) - cos(BK + BM) = cos(HA - HM) - cos(HA + HM)

Do đó:

cos(BK - BM) + cos(HA + HM) = cos(BK + BM) + cos(HA - HM)

Sử dụng công thức cosin trong tam giác BMC và tam giác CMB, ta có:

cos(BK - BM) = (MC^2 - MB^2)/BC^2 cos(BK + BM) = (MB^2 - MC^2)/BC^2

Tương tự, sử dụng công thức cosin cho tam giác AMH và tam giác HMA, ta có:

cos(HA - HM) = (AH^2 - AM^2)/BC^2 cos(HA + HM) = (AM^2 - AH^2)/BC^2

Kết hợp các công thức trên, ta có:

(MC^2 - MB^2)/(2MC) + (AH^2 - AM^2)/(2AM) = 0

Điều này tương đương với:

MH.MC = MK.MB.

Vậy ta đã chứng minh được MH.MC = MK.MB.

c) Tìm vị trí của điểm M để DH + DK là lớn nhất.

Ta có:

DH + DK = 2MK.sin(HMD)

Vậy ta cần tìm nơi mà sin(HMD) đạt giá trị lớn nhất.

Từ câu b), ta biết rằng MH