Để tìm số nguyên \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \) không vượt quá \( 2024 \) sao cho \( n^2 + 2024 \) chia hết cho \( 30 \), ta sẽ xem biểu thức \( n^2 + 2024 \equiv 0 \mod 30 \).

Trước tiên, ta tìm \( 2024 \mod 30 \):

\[
2024 \div 30 = 67.4667 \quad \Rightarrow \quad 67 \times 30 = 2010 \quad \Rightarrow \quad 2024 - 2010 = 14
\]
Vậy \( 2024 \equiv 14 \mod 30 \). Do đó, ta cần tìm \( n \) sao cho:

\[
n^2 + 14 \equiv 0 \mod 30
\]
hay
\[
n^2 \equiv -14 \mod 30
\]
hay
\[
n^2 \equiv 16 \mod 30
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm các số \( n \) sao cho \( n^2 \equiv 16 \mod 30 \).

Ta xét các nghiệm có thể của \( n \) modulo 30. Các số nguyên từ 0 đến 29 sẽ được kiểm tra xem có thỏa mãn \( n^2 \equiv 16 \mod 30 \) không:

- \( n \equiv 0 \): \( n^2 \equiv 0 \)
- \( n \equiv 1 \): \( n^2 \equiv 1 \)
- \( n \equiv 2 \): \( n^2 \equiv 4 \)
- \( n \equiv 3 \): \( n^2 \equiv 9 \)
- \( n \equiv 4 \): \( n^2 \equiv 16 \) \( \Rightarrow n \equiv 4 \)
- \( n \equiv 5 \): \( n^2 \equiv 25 \)
- \( n \equiv 6 \): \( n^2 \equiv 6 \)
- \( n \equiv 7 \): \( n^2 \equiv 19 \)
- \( n \equiv 8 \): \( n^2 \equiv 4 \)
- \( n \equiv 9 \): \( n^2 \equiv 21 \)
- \( n \equiv 10 \): \( n^2 \equiv 10 \)
- \( n \equiv 11 \): \( n^2 \equiv 1 \)
- \( n \equiv 12 \): \( n^2 \equiv 24 \)
- \( n \equiv 13 \): \( n^2 \equiv 13 \)
- \( n \equiv 14 \): \( n^2 \equiv 16 \) \( \Rightarrow n \equiv 14 \)
- \( n \equiv 15 \): \( n^2 \equiv 15 \)
- \( n \equiv 16 \): \( n^2 \equiv 6 \)
- \( n \equiv 17 \): \( n^2 \equiv 19 \)
- \( n \equiv 18 \): \( n^2 \equiv 24 \)
- \( n \equiv 19 \): \( n^2 \equiv 1 \)
- \( n \equiv 20 \): \( n^2 \equiv 10 \)
- \( n \equiv 21 \): \( n^2 \equiv 21 \)
- \( n \equiv 22 \): \( n^2 \equiv 4 \)
- \( n \equiv 23 \): \( n^2 \equiv 9 \)
- \( n \equiv 24 \): \( n^2 \equiv 16 \) \( \Rightarrow n \equiv 24 \)
- \( n \equiv 25 \): \( n^2 \equiv 25 \)
- \( n \equiv 26 \): \( n^2 \equiv 16 \) \( \Rightarrow n \equiv 26 \)
- \( n \equiv 27 \): \( n^2 \equiv 9 \)
- \( n \equiv 28 \): \( n^2 \equiv 4 \)
- \( n \equiv 29 \): \( n^2 \equiv 1 \)

Từ đó, ta thấy các giá trị của \( n \) có thể là:

- \( n \equiv 4 \)
- \( n \equiv 14 \)
- \( n \equiv 24 \)
- \( n \equiv 26 \)

Giờ ta sẽ đếm số \( n \) sao cho \( n \leq 2024 \).

Từ các chu kỳ modulo 30, ta sẽ tính số lượng trong mỗi chu kỳ.

1. **Đối với \( n \equiv 4 \mod 30 \)**: Các số có dạng \( 30k + 4 \):
- \( 30k + 4 \leq 2024 \) => \( k \leq 67 \) (0 đến 67 có 68 giá trị).

2. **Đối với \( n \equiv 14 \mod 30 \)**: Các số có dạng \( 30k + 14 \):
- \( 30k + 14 \leq 2024 \) => \( k \leq 67 \) (0 đến 67 có 68 giá trị).

3. **Đối với \( n \equiv 24 \mod 30 \)**: Các số có dạng \( 30k + 24 \):
- \( 30k + 24 \leq 2024 \) => \( k \leq 67 \) (0 đến 67 có 68 giá trị).

4. **Đối với \( n \equiv 26 \mod 30 \)**: Các số có dạng \( 30k + 26 \):
- \( 30k + 26 \leq 2024 \) => \( k \leq 67 \) (0 đến 67 có 68 giá trị).

Tổng số lượng \( n \) là:

\[
68 + 68 + 68 + 68 = 272
\]

Vậy, tổng cộng có **272 số nguyên \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \) không vượt quá 2024 sao cho \( n^2 + 2024 \) chia hết cho 30**.