a. Ta có BD là phân giác của tam giác ABC và góc A = 90 độ, nên ta có: tam giác ABD và tam giác CBD đồng dạng với nhau (theo trường hợp góc - góc - góc).
Do đó, ta suy ra được AB/BD = BC/BD => AB = BC
Khi đó, hai tam giác AABD và EBD có cùng một cạnh BD và cùng một góc ABD, do đó chúng đồng dạng với nhau, suy ra AABD = EBD.

b. Vì BD là phân giác của tam giác ABC, nên AB/BC = AD/DC Ta có AB = BC (do tam giác ABC vuông tại A), nên ta suy ra được AD < DC. Khi đó, vì AE vuông góc DE, ta có BD là đường trung trực của AE, suy ra DB = EB, từ đó ta có AB + AD = BD + DC => AB < DC.

c. Gọi G là giao điểm của CD và AB.
Theo bài toán, ta biết: BD là phân giác của tam giác ABC và DE vuông góc BC, suy ra BE = EC, DE = 2BE= 2EC (theo tính chất của đường phân giác). Từ đó, ta có BF/FA = CE/EA = ED/DA = 2.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BDC và đường thẳng F-A-E, ta có: BD/DC * CF/FB * BA/AD = 1 Do BD là phân giác tam giác ABC, suy ra BD/DC = AB/AC. Vì AB = BC và BF/FA = 2, nên ta có CF/FB = 1/2.
Từ hai công thức trên, ta suy ra được: AB/AC * 1/2 * BA/AD = 1 => AD = DC/3
Áp dụng định lí Thales cho tam giác EDC và đường thẳng F-A-B, ta có: DF/FE * EA/AC * CB/BD = 1 Vì EA/AC = 2 (tính chất của đường phân giác), CB/BD = 1, và trên đã suy ra DF/FE = 1. Từ đó, ta có: DF = DC/3 = AD.

d. BD là phân giác của tam giác ABC, suy ra BD cắt AC tại I sao cho AI = IC.
Ta cần chứng minh rằng AE cắt BD tại điểm trung điểm của BD (điểm M).
Gọi M là trung điểm của BD, ta sẽ chứng minh AM = DM. Khi đó, ta có BM^2 = BD*BA = BC^2/4 => BM = BC/2 Vì BM = MC và IB song song với DE, suy ra ADMI là hình chữ nhật, do đó AM = DI = DE/2 Từ tính chất của tam giác vuông, ta có: BD = 2BM = BC => AM = DM. Do đó, BD là đường trung trực của AE.

e. Ta cần chứng minh B, D, M thẳng hàng.
Gọi H là giao điểm của AC và BD. Khi đó, ta có AH = HC và BH = HD.
Gọi N là trung điểm của BD, suy ra NB = ND.
Từ hai công thức trên, ta suy ra được: AN // CH và BN // DH.
Theo định lí Thales cho tam giác ABC và đường thẳng b qua F, ta có: FB/FA * EA/AC * CH/HB = 1 => CH/HB = 2 Áp dụng định lí Thales cho tam giác EDC và đường thẳng a qua