a) Ta có BM = 2CM nên ta có 2BM = BC = 2CM + BM. Do đó, ta có AM = 2MD. Tương tự, ta có BD = 2DN. M là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có:

• AM là đoạn phân giác của BD.
• MD là đoạn phân giác của AB.
• BM là đoạn phân giác của AD.

Do đó, ta có:

2AM = 2BM + 2MD = BC + AD = AC

Vậy, M là trọng tâm của tam giác ABD.

b) Ta có CM = BC/2 và DN = BD/2 nên ta có:

CN = CD - DN = (AD + AC)/2 - BD/2 = (AD - BD + BC)/2 = AB/2

Vậy, A, M, N thẳng hàng vì M là trọng tâm của tam giác ABD và N là trung điểm của BD.

c) Ta cần chứng minh DM đi qua trung điểm của AB. Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó, ta cần chứng minh DP // NM.

Ta có:

• CN // AB (vì N là trung điểm của BD và BD // AC).
• DP // AB (vì P là trung điểm của AB).
• DP // CN (vì DP và CN cùng vuông góc với BD).

Do đó, ta có DP // NM.

Vậy, đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.