Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAB, ta cần chỉ ra rằng:

• Hai góc A và B của tam giác ABC tương đương với hai góc H và A của tam giác HAB.
• Hai cạnh AB và HA của hai tam giác này có tỉ số bằng nhau.

Ta có:

• Góc A là góc vuông của tam giác ABC, góc H là góc vuông của tam giác HAB.
• Góc B là góc nhọn của tam giác ABC, góc A là góc nhọn của tam giác HAB.
• Vì AB = HA (đường cao của tam giác ABC và tam giác HAB đều trùng với đoạn thẳng BC), nên tỉ số cạnh AB và HA là 1.

Do đó, ta có thể kết luận rằng hai tam giác ABC và HAB đồng dạng.

Tiếp theo, để tính độ dài các cạnh và đường cao của tam giác ABC, ta áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác ABC:

• BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 ⇒ BC = 5 cm
• Đường cao AH của tam giác ABC bằng tích của hai cạnh góc vuông chia cho cạnh huyền BC: AH = (AB x AC) / BC = (3 x 4) / 5 = 12/5 cm
• Ta có thể tính độ dài các cạnh BD và DC bằng cách sử dụng định lí phân giác trong tam giác ABC. Gọi E là giao điểm của tia phân giác AD với BC. Ta có: BD/DC = AB/AC = 3/4 Và BD + DC = BC = 5 Giải hệ phương trình ta được: BD = 15/7 cm và DC = 20/7 cm.

Vậy kết quả tính toán là:

• Tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAB.
• BC = 5 cm.
• Đường cao AH của tam giác ABC là 12/5 cm.
• BD = 15/7 cm và DC = 20/7 cm.