A) Ta có BE = BA nên tam giác ABE là tam giác cân tại A. Vì vậy, ta có góc AEB = góc ABE. Từ đó suy ra góc AEC = góc AEB = góc ABE = góc ABC. Do đó, tam giác ABC đồng dạng với tam giác AEC. Tương tự, ta có tam giác ABI đồng dạng với tam giác EBI. Do đó, ta có: AB/EB = AI/EI. Với AB = BE, ta có AI = EI.

B) Ta có góc BIC = góc BAC = 90 độ. Vì vậy, tam giác IBC vuông tại B. Ta có góc BAI = góc EBI (vì hai tam giác ABI và EBI đồng dạng). Tương tự, ta có góc IBC = góc EBC. Vì vậy, hai tam giác ABI và EBI cùng có một góc vuông và hai góc nhọn khác bằng nhau, nên chúng đồng dạng. Do đó, ta có góc AIB = góc EIB. Từ đó, ta suy ra tam giác IFC đồng dạng với tam giác ABC.

C) Ta có góc AEC = góc ABC, vì hai tam giác ABC và AEC đồng dạng. Tương tự, ta có góc EFC = góc BFC, vì hai tam giác IFC và IBC đồng dạng. Vì góc ABC = góc AEC và góc BFC = góc EFC, nên góc FEC = góc AEC - góc EFC = góc ABC - góc BFC = góc ABF. Do đó, tam giác AEF cân tại E, và ta có AE vuông góc với EF. Vì vậy, bi là đường vuông góc với FC và AE.