a) Ta có:

- Góc ACF = góc ADB (cùng là góc ngoài cảu tam giác AHD)
- Góc AFC = góc ABD (cùng là góc giữa trong tam giác ABC)
- Vì hai góc đó bằng nhau nên theo góc đối, ta có:

        ∠CFB = ∠ADB

- Tương tự, ta có:

        ∠BCF = ∠BAD

- Vậy tam giác CFB và tam giác ADB đồng dạng theo góc góc (g.g).

b) Ta có:

- Góc ACF = góc ADB (cùng là góc ngoài cảu tam giác AHD)
- Góc AFC = góc ABD (cùng là góc giữa trong tam giác ABC)
- Vì hai góc đó bằng nhau nên theo góc đối, ta có:

        ∠CFB = ∠ADB

- Từ tam giác ABD và tam giác AHD có:

        AF/AD = AB/AH

- Từ tam giác CFB và tam giác CHF có:

        AB/AH = FC/FB

- Từ hai phương trình trên ta có:

        AF/AD = FC/FB

        AF. FB = AD. FC

- Từ đó suy ra: 

        AF. AB = AF. (AF + FB) = AF² + AF.FB = AF² + AD.FC = AH² + AD.FC (vì AH = AF)

- Vậy đpcm.

c) Ta có:

- Góc ACF = góc ADB (cùng là góc ngoài cảu tam giác AHD)
- Góc AFC = góc ABD (cùng là góc giữa trong tam giác ABC)
- Vì hai góc đó bằng nhau nên theo góc đối, ta có:

        ∠BCF = ∠BAD

- Từ đó suy ra tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC theo góc góc (g.g).

d) Ta có:

- M là trung điểm BC, nên MB = MC
- Góc HMB = góc HMC = 90 độ (do BM, CM là đường cao của tam giác ABC)
- Vậy tam giác HMB và tam giác HMC là tam giác đồng dạng theo góc góc (g.g).

- Từ tam giác HMB và tam giác BDF có:

        BM/BD = MH/HF

- Từ tam giác HMC và tam giác CDE có:

        MC/CD = MH/HE

- Từ hai phương trình trên ta có:

        BM/BD = MC/CD

        BM.CD = MC.BD

- Từ đó suy ra tam giác BMD đồng dạng với tam giác CMD theo tỉ số độ dài cạnh.

- Vậy góc EDF = góc BDM (cùng là góc giữa trong tam giác BDM) và góc BDM = góc CEM (cùng là góc ngoài cảu tam giác CEM), nên góc EDF = góc EMF (cùng là góc giữa trong tam giác CEM).