Để chứng minh tổng 1/1+1/2+1/3+.....+1/961/1+1/2+1/3+.....+1/96 bằng phân số a/b và a chia hết cho 97, ta sử dụng phương pháp giả sử đặt tổng là S:

S=1/1+1/2+1/3+.....+1/96S=1/1+1/2+1/3+.....+1/96

Ta nhận thấy rằng S có thể được viết lại dưới dạng:

S=1+(1/2+1/96)+(1/3+1/95)+...+(1/48+1/50)S=1+(1/2+1/96)+(1/3+1/95)+...+(1/48+1/50)

Lưu ý rằng các cặp số trong ngoặc đơn (1/2+1/96)(1/2+1/96), (1/3+1/95)(1/3+1/95),...,(1/48+1/50)(1/48+1/50) có tổng bằng 97.

Do đó, ta có thể viết lại tổng S như sau:

S=1+97a

trong đó a là một số nguyên. Để tìm a, ta tính tổng của các cặp số trong ngoặc đơn như sau:

1/2+1/96=49/961/2+1/96=49/96

1/3+1/95=98/2851/3+1/95=98/285

1/4+1/94=47/1881/4+1/94=47/188

......

1/48+1/50=49/1201/48+1/50=49/120

Nhận thấy rằng các cặp số nằm trong ngoặc đơn là các phân số tối giản. Khi tính tổng của chúng, ta có thể rút gọn được nhiều cặp thành một phân số duy nhất. Ví dụ:

1/2+1/96=(48+1)/96=49/961/2+1/96=(48+1)/96=49/96

1/3+1/95=(3∗95+1)/(3∗95)=98/2851/3+1/95=(3∗95+1)/(3∗95)=98/285

1/4+1/94=(47+1)/188=47/1881/4+1/94=(47+1)/188=47/188

......

1/48+1/50=(24∗50+49)/(24∗50)=49/1201/48+1/50=(24∗50+49)/(24∗50)=49/120

Như vậy, ta có thể viết lại tổng S như sau:

S=1+97(a1​+a2​+...+a24​)

trong đó a1​, a2​, ..., a24​ lần lượt là các phân số rút gọn được từ các cặp số trong ngoặc đơn. Như vậy, để tìm a1​+a2​+...+a24​, ta phải tính tổng của các phân số này và rút gọn kết quả.

Ta có:

(49/96)+(98/285)+(47/188)+...+(49/120)(49/96)+(98/285)+(47/188)+...+(49/120)

=1−(1/2+1/3+...+1/96)=1−(1/2+1/3+...+1/96)

Vì vậy, ta có:

S=1+97(1−S)

Giải phương trình trên, ta được:

S=97/98

Như vậy, tổng 1/1+1/2+1/3+.....+1/961/1+1/2+1/3+.....+1/96 bằng phân số 97/98​ và a (tử số) chia hết cho 97. Chứng minh đã được hoàn thành.