Với p = 2, ta có: p + 6 = 8 không phải là số nguyên tố.

Với = 3, ta có: p + 6 = 9 không phải là số nguyên tố.

Với p = 5, ta có: p + 6 = 11; p + 12 = 17; p + 18 = 23; p + 24 = 29 đều là các số nguyên tố.

Nếu p > 5 và p là số nguyên tố thì p = 5k + 1 hoặc p = 5k + 2 hoặc p = 5k + 3 hoặc p = 5k + 4 (k ∈ ℕ*).

⦁ Nếu p = 5k + 1 thì p + 24 = 5k + 1 + 24 = 5k + 25 = 5(k + 5) là một số chia hết cho 5 (loại).

⦁ Nếu p = 5k + 2 thì p + 18 = 5k + 2 + 18 = 5k + 20 = 5(k + 4) là một số chia hết cho 5 (loại).

⦁ Nếu p = 5k + 3 thì p + 12 = 5k + 3 + 12 = 5k + 15 = 5(k + 3) là một số chia hết cho 5 (loại).

⦁ Nếu p = 5k + 4 thì p + 6 = 5k + 4 + 6 = 5k + 10 = 5(k + 2) là một số chia hết cho 5 (loại).

Vậy ta đã chứng minh được p = 5 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.