a) Ta có:

• Gọi O là trung điểm của BC.
• Khi đó, ta có: AH = 2OM (vì AH và OM đều vuông góc với BC và AM = MB)
• Vì HE vuông góc với AB và HD vuông góc với AC, nên HE//MB và HD//MC
• Từ đó suy ra tứ giác ADHE là tứ giác điều hòa trên đường cao AH và đường trung trực của BC.
• Do đó, ta có tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH, cắt BC tại I (là trung điểm của BC).

b) Ta có:

• Gọi K là giao điểm của EF và BD.
• Vì tứ giác ADHE nội tiếp, nên ∠AHD = ∠AED.
• Từ đó, suy ra tứ giác EDFH nội tiếp.
• Theo định lí phân giác trong tam giác, ta có: DK/DF = HK/HF.
• Từ tứ giác EDFH nội tiếp, ta có: KH.HF = EH.HD.
• Kết hợp hai công thức trên, ta được: DK/DF = EH/HD.
• Nhưng tứ giác ADHE là tứ giác điều hòa, nên EH/HD = BH/HC.
• Vậy ta có: DK/DF = BH/HC.
• Áp dụng định lí phân giác trong tam giác BHC, ta được: KH/HR = DK/DF.

c) Ta có:

• Gọi K là giao điểm của EF và BD.
• Vì tứ giác ADHE nội tiếp, nên ∠AHD = ∠AED.
• Từ đó, suy ra tứ giác EDFH nội tiếp.
• Theo định lí Euclid, ta có: ∠BHF = ∠CDF.
• Từ tứ giác EDFH nội tiếp, ta có: ∠HFE = ∠HDE.
• Do đó, ta có: ∠KHF = ∠KDF.
• Nhưng tứ giác EDFH nội tiếp, nên ∠KDF = ∠KEF.
• Vậy ta có: ∠KHF = ∠KEF.
• Khi đó, ta có: EF//BH (vì ∠BHF = ∠KEF).
• Từ đó, suy ra: BK⊥CI.