a) Ta có AB=MB và góc BAC=90 độ nên tam giác ABN và MBN là 2 tam giác cân (cạnh AB=bằng cạnh BN và cạnh MB=bằng cạnh BN).
b) Ta có góc PNC=90 độ (do đường thẳng PN vuông góc với BC) và góc NPC=góc NAB (do đường thẳng PN song song với đường thẳng AM). Như vậy, ta có góc PNC=góc NPC=nên tam giác PNC là tam giác cân tại N.
c) Ta có góc BAC=90 độ và AB=MB nên tam giác ABM là tam giác cân. Do đó, ta có góc BAM=góc ABM. Tương tự, ta có góc NBC=góc BAN. Như vậy, ta có:
góc BAM=góc ABM=góc BAN=góc NBC
Do đó, ta có tam giác ABN đồng dạng với tam giác PNC (vì có 2 góc bằng nhau) nên ta có:
AB/PN=BN/NC
Ta cần chứng minh rằng AM//PC, tức là góc AMC=góc CPN. Ta có:
góc AMC=góc BAC-góc BAM=90-góc ABM
góc CPN=góc NPC-góc NCP= góc NAB-góc NBC
Như vậy, để chứng minh AM//PC, ta cần chứng minh:
90-góc ABM=góc NAB-góc NBC
Tức là:
góc ABM+góc NBC=góc NAB+90
Điều này đúng vì góc ABM=góc NBC và góc NAB+góc NBC=90 (do tam giác ABC vuông tại A). Vậy ta đã chứng minh được AM//PC.