a) Để chứng minh rằng tứ giác ABNM nội tiếp, ta cần chứng minh góc ANM = góc ABM.

Vì AM là đường cao của tam giác AABC, nên góc MAB = 90°.
Vì MC là đường kính đường tròn (O), nên góc MNC = 90°.
Do đó, góc ANM + góc ABM = góc ANM + góc MAB = góc ANM + 90°.

Ta cần chứng minh góc ANM = góc ABM.
Để làm điều này, ta cần chứng minh AB || MC.

Vì AM và MC là hai đường chéo của hình chữ nhật AMNC (cùng vuông góc với nhau), nên AM || NC.
Vì MC là đường kính đường tròn (O), nên MC vuông góc với BC.
Do đó, ta có AB || MC.

Từ đó, suy ra góc ANM = góc ABM.
Vậy, tứ giác ABNM nội tiếp.

b) Ta đã chứng minh được tứ giác ABNM nội tiếp. Do đó, ta có góc ANM = góc ABM.

Từ hai tam giác ABM và MBC, ta có:

góc ABM + góc MBC + góc ABC = 180° (tổng các góc trong tam giác ABC)
90° + góc MBC + 90° = 180° (vì góc ABM = 90°)
góc MBC = 180° - 180° = 0°

Vậy, góc MBC = 0°, tức là MN // BC.

Áp dụng định lí thứ tự bên trong, ta có:

AB/MK = AN/NC (do tứ giác ABNM nội tiếp)
AB/(AB - AK) = AN/NC (do MK = AB - AK và MN // BC)
AB/AB - AB/AK = AN/NC
1 - AB/AK = AN/NC
AB/AK = 1 - AN/NC

Nhưng ta biết rằng góc ANM = góc ABM, nên AM = MB (do tam giác AAMB đồng nhất).
Do đó, AN = NC (cùng là đường kính của đường tròn (O)).

Vì vậy, ta có:
AB/AK = 1 - AN/NC = 1 - 1 = 0
AB/AK = 0
AB = 0 x AK = 0

Do AB = 0, ta có:
AB . BK = 0 (với mọi giá trị của BK)

Vậy, AB . BK = BC.
BN = BC (vì MN // BC).

Tóm lại, ta đã chứng minh được AB . BK = BC và BN = BC.