a) Để chứng minh tam giác AKH = tam giác AMH, ta cần chứng minh các cạnh tương ứng bằng nhau và góc tương ứng bằng nhau.

Ta có:
- HA = HA (cạnh chung)
- KH = MH (đường phân giác chung, cạnh chung với cạnh)
- Góc AKH = Góc AMH (do chúng là các góc đối xứng của nhau qua đường phân giác)

Vậy theo nguyên tắc đẳng thức tam giác, ta có tam giác AKH = tam giác AMH.

b) Để chứng minh AH vuông góc với BC, ta cần chứng minh góc AHK = góc AHB = 90°.

Ta biết tam giác AKH = tam giác AMH (theo phần a), từ đó suy ra góc AHK = góc AMH.

Nhưng tam giác cân AMH có góc ở đỉnh bằng 90° (vì là tam giác cân), nên góc AMH = 90°.

Do đó, góc AHK = góc AMH = 90°, tức là AH vuông góc với BC.

Để chứng minh AH < (AB + AC)/2, ta sử dụng tính chất của tam giác cân.

Ta có:
- AH = AM (đường phân giác cùng chiều cao)
- AB = AC (tam giác cân)

Do đó, AH = AM < (AB + AC)/2 (theo bất đẳng thức tam giác).

c) Để chứng minh IK // HM, ta cần chứng minh các góc tương ứng bằng nhau.

Vì E là trung điểm của MI, nên EI cắt HM tại một điểm G sao cho HG = GM.

Ta có:
- GI = GM (vì E là trung điểm)
- Góc EGI = Góc EGM (do cạnh chung HM và MI)

Do đó, theo nguyên tắc đẳng thức góc, ta có IK // HM.