Để tìm giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và biểu thức T = x1^2 + x2^2 đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần xét các trường hợp sau:

Phương trình đã cho: x^2 – 2(m – 3)x – 2(m – 1) = 0

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta biết rằng delta (Δ) của phương trình phải lớn hơn 0.

Δ = b^2 - 4ac

Thay a = 1, b = -2(m – 3), c = -2(m – 1) vào công thức delta, ta có:

Δ = (-2(m – 3))^2 - 4(1)(-2(m – 1))
   = 4(m – 3)^2 + 8(m – 1)
   = 4(m^2 – 6m + 9) + 8m – 8
   = 4m^2 – 24m + 36 + 8m – 8
   = 4m^2 – 16m + 28

Điều kiện Δ > 0 sẽ làm cho phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Để biểu thức T = x1^2 + x2^2 đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần hai nghiệm x1 và x2 có tổng càng nhỏ càng tốt. Điều này xảy ra khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 càng gần nhau càng tốt.

Để tìm giá trị của m, ta cần xét trường hợp Δ = 0:

4m^2 – 16m + 28 = 0

Giải phương trình trên, ta có:

m = (16 ± √(16^2 - 4*4*28)) / (2*4)
m = (16 ± √(256 - 448)) / 8
m = (16 ± √(-192)) / 8

Vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực, nên không có giá trị của m thỏa mãn phương trình trên.

Do đó, không có giá trị cụ thể của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn và biểu thức T = x1^2 + x2^2 đạt giá trị nhỏ nhất.