a) Chứng minh AM = AN và AM^2 = AT.AD:

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ta có:

∠AOC = 2∠BAC (cung cấp)

Vì CE là đường cao của tam giác ABC, nên ∠CEA = 90° - ∠BAC.

Vì vậy, ∠MOA = ∠CEA = 90° - ∠BAC.

Do đó, tam giác OAM vuông tại A.

Khi đó, ta có AM = AN (cùng là bán kính đường tròn (O)).

Từ tam giác OAM vuông tại A, ta có:

AM^2 = OA^2 - OM^2 (định lý Pythagoras)

Vì OA = OD (là bán kính đường tròn (O)) và OM = ON (vì M, N nằm trên đường tròn (O)), nên ta có:

AM^2 = OA^2 - ON^2

= OA^2 - OT.OD (vì NT là đường cao của tam giác OAT)

= OA^2 - AT.AD (vì OT = AT và OD = AD)

Vậy, ta đã chứng minh AM = AN và AM^2 = AT.AD.

b) Chứng minh EF // MN và H là trực tâm của tam giác ABC:

Gọi G là giao điểm của BN và AM.

Vì BM là đường cao của tam giác ABC, nên ∠ABM = 90° - ∠BAC.

Tương tự, vì CE là đường cao của tam giác ABC, nên ∠BCE = 90° - ∠BAC.

Vì vậy, ∠BCE = ∠ABM.

Từ đó, ta có BN // AC (do hai góc đồng quy), và do đó, ta có ∠BNE = ∠CAE.

Vì tam giác CAE và BNE có cặp góc tương đương, nên chúng tương đồng.

Từ đó, ta có ∠BEN = ∠CAE = ∠ABM.

Vậy, ta có BN // AM.

Mặt khác, từ chứng minh ở phần a), ta đã có AM = AN.

Vậy, ta có BN // AM và BN = AM, nên ta có BNMA là hình bình hành.

Do đó, ta có EF // MN (vì EF và MN là hai đường chéo của hình bình hành BNMA).

Đồng thời, ta thấy rằng H là điểm chung của hai đường thẳng BM và CE (là giao điểm của BN và AC), nên H là trực tâm của tam giác ABC (vì trong tam giác nhọn, trực tâm là giao điểm của đường cao).

Vậy, ta đã chứng minh EF // MN và H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Chứng minh AH = AM và tứ giác OHKT nội tiếp:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên AH là đường cao của tam giác ABC.

Vì vậy, ta có AH = AM (đường cao chia tam giác thành hai đường tròn cùng đường kính).

Từ b), ta đã chứng minh EF // MN, vậy ta có ∠AHE = ∠MNE (do cùng là góc đối của cặp góc tương đồng EF // MN).

Từ đó, ta có ∠AHE = ∠MNE = ∠MON (vì M, O, N thẳng hàng).

Do đó, tứ giác OHKT nội tiếp trong một đường tròn có đường kính OH (vì H là trực tâm) và OH = OA (vì AH = AM).

Vậy, ta đã chứng minh AH = AM và tứ giác OHKT nội tiếp.