a) Chứng minh: Các tam giác BIMK và CIMH nội tiếp đường tròn.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng trong hai tam giác đó đều bằng nhau.

Ta có:
Góc BIM = Góc CIM (cùng nằm ở cung CM của đường tròn)  (1)
Góc BMI = Góc CMI (cùng nằm ở cung CI của đường tròn)  (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra:
Góc BIM + Góc BMI = Góc CIM + Góc CMI

Vì tổng hai góc tương ứng trong các tam giác BIMK và CIMH bằng nhau, nên ta có:
tam giác BIMK tương đương tam giác CIMH (theo góc)

Do đó, các tam giác BIMK và CIMH nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: MI^2 = MH * MK.

Ta có:
MI^2 = MP * MQ (vì P, Q nằm trên đường thẳng MI, do BM cắt IK tại P và CM cắt IH tại Q)
MI^2 = (MB * MK) * (MC * MH) (do BM * MP = MC * MQ theo nguyên lý đường thẳng cắt đường tròn)
MI^2 = (MB * MC) * (MH * MK)

Vì MB * MC là một hằng số (do nằm trên đường tròn có tâm là A), nên ta có:
MI^2 = (MB * MC) * (MH * MK)

Do đó, MI^2 = MH * MK.

c) Chứng minh: PQ vuông góc với MI.

Ta biết rằng P, Q lần lượt là giao điểm của BM với IK và CM với IH.

Như vậy, PQ là đường chéo của tứ giác BMCI, và theo định lý thales, đường chéo PQ là đường vuông góc với cạnh nối hai điểm chéo.

Vì MI là cạnh nối hai điểm chéo B và C, nên ta có:
PQ vuông góc với MI.

d) Nếu KI = KB, ta cần chứng minh IH = IC.

Vì KI = KB, ta có góc BIK = góc IKB (cùng nằm ở cung BK của đường tròn) (1)
Từ (1), ta suy ra góc BIK = góc IKB = góc BIC.

Vì tứ giác BICM nội tiếp đường tròn, nên góc BIC = góc BMC (cùng nằm ở cung BC của đường tròn).

Từ đó, ta có:
góc BIK = góc IKB = g

óc BIC = góc BMC

Vì IH và MC là hai đường cao của tam giác BMC, nên:
góc BMC = góc MCI

Do đó, ta có:
góc BIK = góc IKB = góc BIC = góc BMC = góc MCI

Vì tổng các góc trong tam giác là 180 độ, ta có:
góc MCI + góc ICH + góc HCI = 180 độ

Vì góc MCI = góc ICH, nên:
2 * góc ICH + góc HCI = 180 độ

Từ đó, suy ra:
góc ICH = góc HCI

Vì IH và IC là hai góc đối nhau trong tam giác IHC, nên:
góc ICH = góc HCI

Vậy, nếu KI = KB, ta có IH = IC.