a) Để chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được một đường tròn, ta cần chứng minh góc BFC và góc BEC cùng chắn một cung trên đường tròn (O).

Góc BFC là góc giữa BF và BC, và góc BEC là góc giữa BE và BC. Vì ABHC là tứ giác nội tiếp, nên góc BHC là góc giữa BH và BC. Do đó, ta có:

Góc BFC = Góc BHC (cùng đứng trên cùng một dây BC)
Góc BEC = Góc BHC (cùng đứng trên cùng một dây BC)

Vậy, tứ giác BEFC nội tiếp được một đường tròn.

Để xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC, ta lấy đường trung trực của đoạn thẳng EF. Gọi M là giao điểm của đường trung trực với BC. Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC chính là điểm M.

b) Ta có:
Góc BAE = Góc CAH (cùng là góc vuông)
Góc BAE = Góc CAF (cùng là góc nhọn)
=> Tam giác BAE và tam giác CAF đồng dạng (góc - góc)

Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng:
AB/AE = AC/AF

Nhân hai vế của phương trình trên với AE và AF, ta được:
AE.AB = AF.AC

c) Chứng minh AB.KD = KB.BD:
Góc KBD = Góc KCD (cùng là góc vuông)
Góc KBD = Góc ABD (cùng là góc nhọn)
=> Tam giác KBD và tam giác ABD đồng dạng (góc - góc)

Từ đó, ta có tỷ lệ đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng:
AB/KB = BD/AD

Nhân hai vế của phương trình trên với KD, ta được:
AB.KD = KB.BD

Tương tự, chứng minh AB.CD = AC.BD.

d) Để chứng minh OA vuông góc EF, ta cần chứng minh tứ giác OAEF là tứ giác nội tiếp.

Vì tứ giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên góc BAC là góc giữa BA và BC, và góc ABC là góc giữa BC và AB. Vì góc ABC là góc vuông, nên góc BAC là góc nhọn.

Góc AEF là

 góc giữa AE và EF, và góc AOE là góc giữa AE và OA. Vì góc BAC và góc AEF là cùng là góc nhọn, và góc BAC và góc AOE là cùng là góc nhọn, ta có:

Góc AEF = Góc AOE

Vậy, tứ giác OAEF nội tiếp được một đường tròn.

Do OA là bán kính của đường tròn (O), nên OA vuông góc EF.