Để tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 1, ta cần giải quyết bài toán theo các bước sau:

Bước 1: Tìm hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ của phương trình x² + 2mx - 3 = 0.

Áp dụng công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x₁ + x₂ = -2m (1) x₁x₂ = -3 (2)

Bước 2: Tìm giá trị của x₁² + x₂² + 3x₁x₂.

Sử dụng công thức khai triển đại số, ta có:

(x₁ + x₂)² = x₁² + x₂² + 2x₁x₂

Vì x₁ + x₂ = -2m (theo công thức (1)), nên:

(x₁ + x₂)² = (-2m)² = 4m²

Do đó:

x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = (x₁ + x₂)² + x₁x₂ = 4m² + (-3) = 4m² - 3

Bước 3: Đặt x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 1 và giải phương trình.

4m² - 3 = 1

4m² = 4

m² = 1

m = ±1

Vậy, các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thỏa mãn điều kiện x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 1 là m = 1 và m = -1.