a) Chúng minh tứ giác ACDH nội tiếp: Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc ADB = 90 độ. Mà góc tạo bởi cung AD trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDH bằng đúng một nửa góc tạo bởi cung DB cùng nằm trên đường tròn. Vì vậy, tứ giác ACDH nội tiếp.

b) Chúng minh HM là tia phân giác của góc BHD: Vì tứ giác ACDH nội tiếp, nên góc BHD = góc CAD. Vì góc BHD = góc CAD, và góc DMA = góc CAD (cùng là góc vuông), nên tam giác DMA và tam giác BHD có cặp góc tương đồng. Do đó, tứ giác HBDM là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra, HM là tia phân giác của góc BHD.

c) Chứng minh MD.BC = MB.CD: Vì tứ giác HBDM nội tiếp, ta có góc BDM = góc BHM. Tương tự, vì tứ giác HDCM nội tiếp, ta có góc CDM = góc CHM. Vì HM là tia phân giác của góc BHD, nên góc BHM = góc CHM. Do đó, góc BDM = góc CDM. Vậy, tứ giác BDM và CDM có cặp góc bằng nhau, từ đó suy ra tứ giác BDM và CDM đồng dạng. Từ đó, ta có tỉ số các cạnh: MD/CD = BD/DM. Do BD = DM (vì K là trung điểm của BD), nên ta có MD/CD = 1. Vì vậy, MD.BC = MB.CD.

d) Chứng minh hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại điểm nằm trên đường tròn (O): Từ b), ta đã chứng minh HM là tia phân giác của góc BHD. Vì góc BHD = góc BCD (cùng là góc vuông), nên HM cũng là tia phân giác của góc BCD. Do đó, tứ giác BCDH là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra, góc CDH = góc CBH. Mà góc CDH = góc CBH = góc CBJ (vì EJ là tiếp tuyến tại I), nên ta có tứ giác CDBJ là tứ giác cùng tứ diện, tứ giác nội tiếp. Vậy, hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại điểm nằm trên đường tròn (O).