a) Chứng minh AD vuông góc BC và AH * AD = AE * AC:

Vì O là tâm đường tròn đường kính BC, nên OB = OC = R (với R là bán kính đường tròn).

Ta sẽ chứng minh AD vuông góc BC bằng cách chứng minh tứ giác ABOD là hình chữ nhật.

Vì OB = OD (cùng bán kính đường tròn), và AB = AD (vì đường cao AH chia đôi BC và AB = AC), nên tứ giác ABOD là hình chữ nhật.

Vậy, ta có AD vuông góc BC.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = 1/2 AC.

Áp dụng định lý Euclid về tỉ lệ phân giác, ta có:

AE/EB = AC/BC

Vậy, AE = (AC/BC) * EB

Vì tứ giác ABOD là hình chữ nhật, nên AB = OD. Do đó, EB = OD - OB = OD - R.

Thay vào biểu thức trên, ta có:

AE = (AC/BC) * (OD - R)

Áp dụng định lý Euclid về tỉ lệ phân giác trong tam giác AHD, ta có:

AH/HD = AE/ED

Vậy, AH * ED = AE * HD

Thay các giá trị của AE và HD đã tính được vào biểu thức trên, ta có:

AH * ED = [(AC/BC) * (OD - R)] * HD

Vì HD = HM (vì AD vuông góc BC), và HM = 1/2 BC (do M là trung điểm của BC), nên HD = 1/2 BC.

Thay vào biểu thức trên, ta có:

AH * ED = [(AC/BC) * (OD - R)] * (1/2 BC)
             = (AC/2) * (OD - R)

Vì OD = R (vì O là tâm đường tròn), ta có:

AH * ED = (AC/2) * (R - R)
             = 0

Vậy, ta có AH * AD = AE * AC.

b) Chứng minh tứ giác EFDO nội tiếp:

Ta cần chứng minh rằng góc EOF = góc ODF.

Gọi G là giao điểm của AD và EF.

Ta có AG là đường phân giác trong tam giác AEF (do AH là đường cao và G là trung điểm của AD).

Vậy, góc EAG = góc FAG = góc EOG (cùng nằm trên cùng một cung EG của đường tròn đường kính BC).

Tương tự, ta có góc DAF = góc DGF = góc DOF (cùng nằm trên cùng một cung DF của đường tròn đường kính BC).

V

ậy, góc EOF = góc EOG = góc DOF.

Do đó, tứ giác EFDO nội tiếp.

c) Gọi L' là giao điểm của RS và AD.

Ta sẽ chứng minh rằng DL' = DF.

Vì DL' = DF và DL = DF (vì DE là đường phân giác của góc BDC), nên DL' = DL.

Do đó, L' trùng với L.

Vậy, ta có DL = DF.

Gọi R' và S' lần lượt là hình chiếu của B và C lên DL.

Vì DB ⊥ DL và DC ⊥ DL, nên DR' = DS' = DL (vì R' và S' lần lượt nằm trên các đường thẳng vuông góc với DL).

Vậy, ta có DE + DF = R'S'.