a) Chứng minh AH là đường cao trong tam giác ABC:

Ta biết đường cao trong tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với đối diện của nó trên cạnh.

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tức là giao điểm của các đường cao BE và CF.

Ta sẽ chứng minh rằng AH là đường cao trong tam giác ABC bằng cách chứng minh góc AH đối với cạnh BC bằng 90°.

Vì H là trực tâm, nên các đoạn thẳng AH, BH và CH đồng quy tại một điểm trên đường tròn đường kính BC (do là đường cao và trực tâm). Gọi điểm đồng quy này là D.

Ta có góc BDC là góc nội tiếp đường tròn, và góc BAC nằm cùng với góc BDC trên cùng một cung. Do đó, góc BAC bằng một nửa góc BDC.

Vì góc BDC là góc nội tiếp đường tròn, nên góc BDC = 180° - góc BHC (góc nội tiếp và góc xiên).

Do đó, góc BAC = (180° - góc BHC)/2 = 90° - góc BHC/2.

Như vậy, góc AH đối với cạnh BC là 90° - góc BHC/2.

Tuy nhiên, góc BHC là góc nội tiếp đường tròn (góc xiên), nên góc BHC = 180° - góc BAC = 180° - 60° = 120°.

Vậy, góc AH đối với cạnh BC là 90° - 120°/2 = 90° - 60° = 30°.

Vậy, AH là đường cao trong tam giác ABC.

Để chứng minh tứ giác BFEC là nội tiếp, ta cần chứng minh rằng các góc đối diện nhau của tứ giác BFEC đồng quy.

Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BE và CF.

Ta biết rằng trong tam giác ABC, trực tâm H và trung điểm M của cạnh BC và I đồng quy trên đường tròn ngoại tiếp (vì AH là đường cao, AM là đường trung tuyến và MI là đường phân giác).

Từ đó, ta có:
Góc EMB = Góc AHB (cùng nằm trên cùng một cung EM của đường tròn ngoại tiếp)
Góc BFC = Góc BAC (cùng nằm trên cùng

 một cung BC của đường tròn ngoại tiếp)

Vậy, góc EMB = góc BFC.

Do đó, tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh M là trung điểm của HK:

Gọi K là trung điểm của đường kính AK (đường tròn (O) đi qua trực tâm H).

Ta cần chứng minh M là trung điểm của HK.

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC, nên M là trung điểm của BC.

Do đó, ta chỉ cần chứng minh H là trung điểm của AK.

Gọi N là trung điểm của AH.

Ta sẽ chứng minh rằng N trùng với H và K.

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.

Vì AM là đường trung tuyến, nên MN song song và bằng một nửa BC.

Từ đó, ta có MH = NK.

Vậy, H là trung điểm của AK.

Từ đó, suy ra M là trung điểm của HK.

c) Chứng minh AB.CK = AK.DB:

Ta sẽ chứng minh AB.CK = AK.DB bằng cách sử dụng tỉ lệ phân giác trong tam giác ABC.

Gọi P là điểm cắt của các đường thẳng CF và (O), và Q là điểm cắt của các đường thẳng BE và (O).

Áp dụng định lý tỉ lệ phân giác, ta có:

AB/AC = PB/PC (vì BP là đường phân giác trong tam giác ABC)
AB/AC = CQ/BQ (vì CQ là đường phân giác trong tam giác ABC)

Nhân hai phương trình vừa thu được, ta có:

(AB/AC)^2 = (PB/PC) * (CQ/BQ)
           = (PB * CQ) / (PC * BQ)

Vì PB và CQ là tiếp tuyến đến đường tròn (O), nên PB = PC và CQ = BQ.

Thay vào phương trình trên, ta có:

(AB/AC)^2 = (PB * CQ) / (PC * BQ)
           = (PB * BQ) / (PC * BQ)
           = PB/PC

Vậy, ta có AB/AC = PB/PC.

Do đó, AB.CK = AC.BK (do AK là đường trung tuyến)

Từ đó, ta có AB.CK + AC.BK = AC.BK + AC.BK = 2AC.BK.

Tính AB.CK + AC.BK theo R:

AB.CK + AC.BK = 2AC.BK = 2AC.(AK - CK) = 2AC.AK - 2AC.CK

Vậy, AB.CK + AC.BK = 2AC.AK - 2AC.CK.