a) Để chứng minh ABCD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cạnh của nó đồng dài và các góc đối diện bằng nhau.

Vì tam giác ABC vuông tại B, ta có BH là đường cao, do đó BH là cạnh đáy của tam giác vuông ABC. Vì O là trung điểm của AC, ta có OB = OC. Do OB = OD theo đề bài, ta có OD = OC.

Vậy ta có OB = OD và OC = OD, từ đó ta suy ra cạnh AD của hình ABCD bằng cạnh BC của tam giác ABC và hai cạnh còn lại của hình ABCD bằng cạnh AB của tam giác ABC.

Hơn nữa, ta cũng thấy rằng góc ABC của tam giác ABC và góc ACD của hình ABCD là cùng một góc vuông, do đó các góc đối diện trong hình ABCD cũng bằng nhau.

Vì vậy, ta đã chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh CMNP là hình bình hành, ta cần chứng minh CM = PN và CN = PM.

Vì M là trung điểm của HB, ta có CM là đường trung bình của tam giác HCB. Do đó, CM = MB.

Vì N là trung điểm của HA, ta có CN là đường trung bình của tam giác HCA. Do đó, CN = NA.

Vì P là trung điểm của CD, ta có CP là đường trung bình của tam giác BCD. Do đó, CP = PD.

Từ các quan sát trên, ta thấy CM = MB, CN = NA và CP = PD. Như vậy, ta đã chứng minh CMNP là hình bình hành.

c) Để chứng minh góc BNP = 90⁰, ta cần chứng minh NP song song với BC.

Vì CMNP là hình bình hành, ta biết rằng NP song song với CM. Nhưng vì CM là đường trung bình của tam giác HCB (vì M là trung điểm của HB), nên NP cũng song song với HB.

Vì HB là cạnh đáy của tam giác ABC vuông tại B, nên HB vuông góc với AC tại H.

Do đó, ta có NP song song với HB và HB vuông góc với AC. Vậy góc BNP = 90⁰.

Vậy ta đã chứng minh góc BNP = 90⁰.