1. Ta có tam giác AEC và tam giác BED đều vuông tại E. Khi đó, ta có:

AC = AE * tan(AEC) = OE * tan(AEC)
BD = BE * tan(BED) = OE * tan(BED)

Do đó, ta có:

AC + BD = OE * (tan(AEC) + tan(BED))

Tuy nhiên, ta có:

tan(AEC) + tan(BED) = tan(AEF) + tan(BEF) = EF / OE

Vậy:

AC + BD = EF

Nhưng ta cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí Pappus cho hai đường tròn (O) và (E) để suy ra rằng CD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB, do đó CD = 2R và từ đó suy ra AC + BD = EF.

1. Ta có thể chứng minh FE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E, từ đó suy ra góc CFD bằng góc nội tiếp tương ứng trên đường tròn (O).

2. Gọi G là giao điểm của CF và EB. Ta có thể chứng minh rằng G nằm trên đường tròn (O) bằng cách sử dụng định lí Pappus cho hai đường tròn (O) và (E). Khi đó, ta có:

(MN, EF) = (MN, CB) + (CB, EF)

Vì G nằm trên đường tròn (O), nên ta có:

(CB, EF) = (CG, EG)

Do đó:

(MN, EF) = (MN, CB) + (CG, EG)

Ta cũng có thể chứng minh rằng tam giác CEG và tam giác CFD đồng dạng, từ đó suy ra:

(CG, EG) = (CF, FD)

Vậy:

(MN, EF) = (MN, CB) + (CF, FD)

Nhưng ta cũng có:

(MN, CB) = (MN, CG) + (CG, CB)

Và ta đã chứng minh được rằng G nằm trên đường tròn (O), nên:

(MN, CG) = (OG, ON)

Do đó:

(MN, EF) = (OG, ON) + (CG, CB) + (CF, FD)

Tuy nhiên, ta cũng có thể chứng minh rằng tam giác CEF và tam giác COD đồng dạng, từ đó suy ra:

(CG, CB) + (CF, FD) = (OG, OD)

Vậy:

(MN, EF) = (OG