a. góc BKN= BEN (=90)-> BKEN nội tiếp

b. C thuộc đường tròn đường kính BS-> góc BCS =90

Xét tg BEA và tg BCS có: 

góc BEA= góc BSC(=90)

góc BAE= g.BSC( cùng chắn cung BC)

-> tg BEA đồng dạng tg BSC

-> g.ABE=g.SBC( tương ứng)

c. BKEN nội tiếp=> g.BNK=g.BEK( cùng chắn BK) (1)

g.ACB=g.AHE( cùng phụ g.HAC) (2)

xét tg AEH vuông tại H, K là trung điểm AH

-> AK= KE=KH -> KEH cân tại K -> g.KEH= g.KHE(3)

từ (1),(2), (3)=> g.ACB=g.BNK

=> tg. BKN đồng dạng tg.BEC( g.g)

=> BK/BE= BN/BC (4)

=> BK.BC= BN.BE

vì tg.ABE đồng dạng với tg.SBC( cmt)

=> AB/BS=BE/BC (5)

từ 4 và 5 -> BA/BS= BK/BN (*)

lại có g.KBN= g.EBC(cmt)-> g.KBE=g.NBC( 6)

g.ABE=g.SBC( cmt) (7)

từ 6 và 7 => g.ABK= g.SBN (**)

từ (*) và (**)

=> tg.ABK đồng dạng tg. SBN (c.g.c)

-> g.BAK=g.BSN( tương ứng)

mặt khác g.BAK= OAC( chứng minh tương tự ý b)

-> g.BSN=g.OAN 

Mà 2 góc cùng chắn cùng ON

-> tg.AONS nội tiếp.

-> g.NOS= g.NAS( cùng chắn SN)

Mà g.NAS=g.SBC( cùng chắn SC)

Do đó g.SON=g.SBC

Mà 2 góc nằm ở vị trí đồng vị

=> ON//BC