Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức -8/(x-3), ta cần xác định miền giá trị của x để biểu thức có giá trị thực và không bằng 0.

Vì mẫu số của biểu thức là x-3, nên x khác 3. Nếu x tiến đến 3 từ trái sang phải, thì giá trị của biểu thức sẽ tiến đến âm vô cùng. Nếu x tiến đến vô cùng từ trái sang phải, thì giá trị của biểu thức sẽ tiến đến 0.

Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức, ta cần tìm giá trị của x sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

-8/(x-3) = -8/[(x-6) + 3] ≤ -8/2√(x-6)*√3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x-6)/3 = √(x-6)/√3, tức là x-6 = 3, hay x = 9.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là -8/6 = -4/3, đạt được khi x = 9.