Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC và điều kiện BA.BK = BH.BE, ta có các bước sau:

Bước 1: Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC:
- Vì tam giác ABC và tam giác HAC có góc vuông chung tại A và chung cạnh AC, nên ta cần chứng minh tỉ số đường cao tương ứng bằng nhau.
- Đường cao AH của tam giác ABC và đường cao AH' của tam giác HAC đều khảng điểm A và vuông góc với BC và AC tương ứng.
- Vì vậy, ta có AH = AH'.
- Điều này chứng tỏ tỉ số đường cao tương ứng bằng nhau: AH/AH' = AB/AC.
- Từ đó suy ra, tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC.

Bước 2: Chứng minh điều kiện BA.BK = BH.BE:
- Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC, nên ta có tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau: AB/AC = BC/AC = BA/AH = CA/AH'.
- Từ đó suy ra, AB = (AB/AC) * AC = (BA/AH) * AC = BA.(AC/AH).
- Gọi E' là giao điểm của đường phân giác trong BE' (E' thuộc AC) với AB.
- Ta có AE'/E'C = AB/AC = BA/AH = AE/EH.
- Vậy, ta suy ra E' cùng nằm trên đường thẳng EH.
- Do đó, ta có BE' = BE và BH' = BH (vì E' và H' nằm trên đường thẳng EH).
- Như vậy, BA.BK = BA.(BK - BH') = BA.(BE' - BH) = BA.BE.
- Điều này chứng minh điều kiện BA.BK = BH.BE.

Vậy, qua các bước trên, ta đã chứng minh được tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC và điều kiện BA.BK = BH.BE.