a) Để chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh góc AEF + góc AHF = 180°.
Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ta có góc BAC = góc BHC (góc nội tiếp cùng đứng).
Do đó, góc AEF = góc BAC và góc AHF = góc BHC.
Vì vậy, góc AEF + góc AHF = góc BAC + góc BHC = 180° (do tổng các góc trong một tứ giác nội tiếp bằng 180°).
Do đó, tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

Để chứng minh KEH = KNB, ta cần chứng minh hai tam giác KEH và KNB đồng dạng.
Vì góc EKH = góc NBK (cùng là góc vuông), nên ta chỉ cần chứng minh độ dài các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Gọi x = KH và y = KB.
Vì K là trung điểm của AH, ta có AK = KH = x.
Vì K là trung điểm của AH, ta cũng có AK = AH/2.

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ta biết:
AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH = 2R (R là bán kính đường tròn (O)).
KB là đường cao của tam giác ABC, nên KB = 2R (do tam giác ABC nhọn).
Vậy, y = 2R.

Vì tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp, ta cũng biết:
AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH = 2R.
HE là đường cao của tam giác ABC, nên HE = 2R.
Vậy, x = 2R.

Từ x = 2R và y = 2R, ta có tỉ lệ x:y = 2R:2R = 1:1.
Vậy, ta kết luận rằng KEH = KNB.

b) Để chứng minh góc ABE = MBC và BK.BC = BN.BE, ta sử dụng định lí hình học sau:
Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau, thì đường thẳng đó vuông góc với cạnh của tam giác đó.

Do K là trung điểm của AH, nên đường thẳng KN sẽ đi qua trung điểm của AC.
Nếu ta chứng minh tam giác ANK và CNK có diện tích bằng nhau, thì ta có th

ể kết luận rằng đường thẳng KN vuông góc với AC.

Vì KN là đường cao của tam giác ANK, nên diện tích tam giác ANK là 1/2 * AN * KN.
Vì KN là đường cao của tam giác CNK, nên diện tích tam giác CNK là 1/2 * CN * KN.

Ta cần chứng minh AN * KN = CN * KN để có diện tích hai tam giác bằng nhau.

Nhưng ta đã chứng minh rằng KEH = KNB, nên ta có:
KN = NB = AB - AN
KN = BC - CN.

Do đó, AN * KN = AN * (AB - AN) = AN * AB - AN^2
CN * KN = CN * (BC - CN) = CN * BC - CN^2.

Nếu ta chứng minh được AN * AB - AN^2 = CN * BC - CN^2, thì ta có thể kết luận rằng diện tích hai tam giác ANK và CNK bằng nhau.

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ta có AN * AB = CN * BC (định lí Euclid về các tiếp tuyến).
Vậy, ta có AN * AB - AN^2 = CN * BC - CN^2.

Do đó, góc ABE = MBC và BK.BC = BN.BE được chứng minh.