----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
12. Ta có đạo hàm của parabol y = 2x^2 là
r'(t) =<1+2cost, 4t+cos(t)>. Vì đường cong
C là cung nên ta có thể tính đường tích
phân dọc theo C bằng công thức Công
thức đường tích phân JC F.dr = fab
F(r(t)).r'(t)dt Trong đó t=a, t=b là khoảng
cận của đường cong. Ta có r(t) =. Áp dụng
công thức ta được: [C F.dr = |12
F(r(t)).r'(t)dt = f-1 2 (t^2(1+2cost) +
4t^3cos(t))dt Tính tích phân ta được: JC F.dr
= [t^3/3 + 2t^2sin(t)] - 6[1/3cos(t) +
sin(t)]_-1^2 = -407/15 13. Ta có r'(t) =<1 +
cos(t), 1 - msin(t)> và F(r(t)) =. Áp dụng
công thức đường tích phân ta được: JC F.dr
= ſon F(r(t)).r'(t)dt = ſ0¬
[(t(1+mcos(t))^2(1+cos(t))+
t^2(1+cos(t))^2(1+mcos(t)))dt Tính tích
phân ta được: [C F.dr = [(15/2)m +
34(1+m)]r/10 14. Ta có r'(t) =<-sin(t),
2cos(t)> và F(r(t)) =(1+cos(t)+2sin(t)e)+
(sin^2(t)e^2+4cos^2(t)e^2)j. Áp dụng công
thức đường tích phân ta được: JC F.dr =
50m/2 F(r(t)).r'(t)dt = 50m/2
((1+cos(t)+2sin(t)e)(-sin(t))+
(sin^2(t)e^2+4cos^2(t)e^2)(2cos(t)))dt Tính
tích phân ta được: [C F.dr = -2e+32e^2/5