4. Ta có: $\angle OAB = \angle OBA = 90^\circ$, suy ra tứ giác $AMBO$ là tứ giác nội tiếp.
5. Ta có: $\angle OMI = \angle OMB = 90^\circ$, suy ra $OM$ là đường đường chéo của tứ giác $OLIM$. Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác $AMBO$ ta có:
$$AB \cdot OM = AM \cdot OB + BM \cdot OA$$
Mà $OA = OB = R$, $AM = BM$, suy ra $AB \cdot OM = 2R \cdot AM$. Áp dụng định lí cosin cho tam giác $OAM$ ta có:
$$AM^2 = OA^2 + OM^2 - 2OA \cdot OM \cdot \cos \angle OAM$$
Mà $\angle OAM = \angle OMB$, suy ra $\cos \angle OAM = \cos \angle OMB$. Thay vào biểu thức trên ta có:
$$AB \cdot OM = 2R \cdot \sqrt{OA^2 + OM^2 - 2OA \cdot OM \cdot \cos \angle OMB}$$
Suy ra:
$$OM^2 = R^2 - \frac{AB^2}{4}$$
Thay vào biểu thức cần chứng minh ta có:
$$OL \cdot OM = \frac{1}{2} OM^2 = \frac{R^2}{2} - \frac{AB^2}{8}$$
Ta cũng có:
$$AI = \frac{AB}{2},\quad BI = \frac{AB}{2},\quad OM = AM - AO = AM - R$$
Áp dụng định lí cosin cho tam giác $AIM$ ta có:
$$AI^2 = AM^2 + OM^2 - 2AM \cdot OM \cdot \cos \angle AOM$$
Mà $\angle AOM = \angle BOM$, suy ra $\cos \angle AOM = \cos \angle BOM$. Thay vào biểu thức trên ta có:
$$\frac{AB^2}{4} = AM^2 + (AM-R)^2 - 2AM \cdot (AM-R) \cdot \cos \angle BOM$$
Suy ra:
$$\cos \angle BOM = \frac{2AM^2 - AB^2}{4AM \cdot R}$$
Thay vào biểu thức cần chứng minh ta có:
$$OLIM = \frac{1}{2} AB^2 \cdot \cos \angle BOM = \frac{AM^2 - R^2}{2}$$
Suy ra:
$$OL \cdot OM = \frac{R^2}{2} - \frac{AB^2}{8} = \frac{AM^2 - R^2}{2} = OLIM$$
6. Ta có $H$ là trực tâm tam giác $MAB$, suy ra $OH$ là đường trung trực của đoạn $AB$. Khi $M$ di chuyển trên đường thẳng $d$, đường trung trực của đoạn $AB$ cũng di chuyển theo đường thẳng song song với $d$. Vậy quỹ tích của $H$ là một đường thẳng song song với $d$.