Để chứng minh rằng E và F đối xứng với nhau qua BD, ta cần chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của BD.

Gọi H là trung điểm của BD. Ta cần chứng minh rằng E, F và H thẳng hàng.

Ta có:

• BD và CE là hai tia phân giác của tam giác ABC, nên chúng giao nhau tại đường trung trực của cạnh AC.
• Khi đó, E là trung điểm của AB và đường trung trực của AC.
• Điểm F được vẽ sao cho EF vuông góc với BD và cắt BC tại F.
• Khi đó, BF là đường cao của tam giác BDE, nên BF vuông góc với DE (hay EF).
• Do đó, BF song song với đường thẳng vuông góc với DE qua trung điểm H của BD.
• Khi đó, EF và BH là hai đường song song cách nhau một khoảng bằng độ dài FE/2, nên E, F và H thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được E, F và H thẳng hàng, hay E và F đối xứng với nhau qua BD (là đường trung trực của segment EF).

Xét tứ giác CEAF có

góc CEF=góc CAF=90 độ

nên CEAF là tứ giác nội tiếp

=>góc EFC=góc EAC=45 độ

Xét ΔECF vuông tại E có góc EFC=45 độ

nên ΔECF vuông cân tại E

=>EC=EF
=> EF đối xứng nhau qua D