Ta có:
- AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OA là đường phân giác góc BOC.
- Gọi I là giao điểm của AB và AC, ta có: $\angle BAI = \angle CAI$ (vì AI là đường phân giác góc BAC).
- Từ đó suy ra $\angle BAO = \angle CAO$ và $OB = OC$ (vì OA là đường phân giác góc BOC).
- Kẻ OD vuông góc với AE, ta có: $\angle AOD = 90^\circ - \angle OAE = \angle OAB$ (vì tia AE nằm trong góc OAB).
- Do đó, tam giác AOD đồng dạng với tam giác AOB, suy ra $\frac{AD}{AB} = \frac{AO}{OB}$.
- Tương tự, tam giác AOE đồng dạng với tam giác AOC, suy ra $\frac{AE}{AC} = \frac{AO}{OC}$.
- Nhân hai vế của hai phương trình trên ta được: $\frac{AD}{AB} \cdot \frac{AE}{AC} = \frac{AO^2}{OB \cdot OC}$.
- Áp dụng định lý Pappus cho hai đường thẳng AB, AC và đường tròn (O), ta có: điểm H là điểm cắt của AB và AC, OH vuông góc với BC.
- Gọi M là trung điểm của BC, ta có: $\triangle OMB \cong \triangle OMC$ (cạnh và góc giữa bằng nhau), suy ra OB = OC = OM.
- Do đó, $\frac{AO^2}{OB \cdot OC} = \frac{AO^2}{OM^2}$.
- Kết hợp với phương trình trên, ta được: $\frac{AD}{AB} \cdot \frac{AE}{AC} = \frac{AO^2}{OM^2}$.
- Áp dụng định lí Euclid cho tam giác ABC, ta có: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$.
- Thay vào phương trình trên, ta được: $\frac{DE^2}{BC^2} = \frac{AO^2}{OM^2}$.
- Suy ra $DE \cdot OM = AO^2$.
- Ta có: $\angle OAH = \angle OAB - \angle HAB = \angle OAB - \angle OAC = \angle BAC$ (vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Do đó, tam giác AOH đồng dạng với tam giác ADE, suy ra $\frac{AH}{AD} = \frac{AO}{AE}$.
- Nhân hai vế của phương trình trên ta được: $AH \cdot AO = AD \cdot AE$.
- Kết hợp với $DE \cdot OM = AO^2$, ta được: $AH \cdot AO = DE \cdot OM$.
- Suy ra $AH.AO = AD.AE$.
- Vậy ta đã chứng minh được: OA vuông góc với BC tại H và AH.AO = AD.AE.