Tìm min của A=a^2/a^2+(b+c)^2 +b^2/b^2+(c+a)^2 +c^2/c^2+(a+b)^2

Ta có thể viết lại A dưới dạng:
$$A = \frac{a^4}{a^4 + a^2(b+c)^2 + a^2(b+c)^2 + (b+c)^4} + \frac{b^4}{b^4 + b^2(c+a)^2 + b^2(c+a)^2 + (c+a)^4} + \frac{c^4}{c^4 + c^2(a+b)^2 + c^2(a+b)^2 + (a+b)^4}$$
Áp dụng định lí Cauchy-Schwarz, ta có:
$$\begin{aligned} A &\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2(b+c)^2 + 2b^2(c+a)^2 + 2c^2(a+b)^2 + 2(a+b)^2(b+c)^2 + 2(b+c)^2(c+a)^2 + 2(c+a)^2(a+b)^2} \\ &= \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2 + 2(ab+bc+ca)^2} \\ &= \frac{1}{2+\frac{(ab+bc+ca)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}} \end{aligned}$$
Đặt $x = \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$, ta có $0 < x \leq 1$. Khi đó:
$$\frac{(ab+bc+ca)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2} = x^2 \leq x$$
Do đó:
$$A \geq \frac{1}{2+x}$$
Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$$
Do đó:
$$x = \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \leq 1$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là:
$$A_{\min} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$$
Đạt được khi và chỉ khi $a=b=c$.