Ta có thể vẽ hình như sau:



Gọi $E$ là giao điểm của $CD$ và $AB$. Khi đó, ta có $HE \perp AB$ và $HE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}R$.

Gọi $x = CE$. Khi đó, ta có $DE = R-x$ và $AE = AB - BE = R - HE = \frac{1}{2}R$.

Do $K$ là trung điểm của $AC$, ta có $AK = KC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}R$.

Do $I$ là đối xứng của $A$ qua $H$, ta có $HI = AI = AE = \frac{1}{2}R$.

Vì $ADIC$ là hình thoi, nên $AD = DC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{AK^2 + KC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}R = \frac{1}{2}\sqrt{2}R$.

Do đó, diện tích của tam giác $AED$ là:

$$S_{AED} = \frac{1}{2}AE\cdot DE = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}R \cdot (R-x) = \frac{1}{4}(R^2 - Rx)$$

Diện tích của tam giác $AIC$ là:

$$S_{AIC} = \frac{1}{2}AI\cdot IC = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}R \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}R = \frac{1}{8}\sqrt{2}R^2$$

Vậy diện tích của hình thoi $ADIC$ là:

$$S_{ADIC} = 2S_{AED} + 2S_{AIC} = \frac{1}{2}(R^2 - Rx) + \frac{1}{4}\sqrt{2}R^2 = \frac{1}{4}(3R^2 - Rx)$$

Cuối cùng, ta cần tính $x$. Ta có:

$$\frac{x}{HE} = \frac{CD}{AB} = \frac{2AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}R}{2R} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Do đó, $x = \frac{\sqrt{2}}{2}HE = \frac{\sqrt{2}}{4}R$.

Thay vào công thức trên, ta được:

$$S_{ADIC} = \frac{1}{4}(3R^2 - \frac{\sqrt{2}}{4}R) = \boxed{\frac{3\sqrt{2}-1}{16}R^2}$$