a. Ta có $\angle ABD = \angle EBD$ (do $BE=BA$) và $\angle BAD = \angle EAD$ (do $AD$ là phân giác góc $BAC$), nên tam giác $ABD$ và $EBD$ có hai góc bằng nhau nên bằng nhau.

b. Ta có $\angle AHE = 90^\circ$ (do $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$) và $\angle ADE = 90^\circ$ (do $AD$ là phân giác góc $BAC$), nên tứ giác $ADEH$ là hình thang vuông.

c. Ta có $\angle ACF = \angle AEF$ (do $AD$ là phân giác góc $BAC$) và $\angle CAF = \angle CEF$ (do $CE=CA$), nên tứ giác $ACEF$ là hình thang vuông.

Tiếp theo, ta chứng minh $EI$ là đường cao của tam giác $ACE$. Ta có:

$\angle EIA = \angle BID = \angle ACF = \angle AEF$

Và

$\angle EAI = \angle EAD + \angle DAI = \angle BAC + \angle BAD = \angle BAE$

Nhưng $BE=BA$, nên $\angle BAE = \angle BEA$, suy ra $\angle EAI = \angle BEA$.

Vậy ta có $\triangle EAI \sim \triangle BEA$, từ đó suy ra $\angle AEB = \angle AIE$. Nhưng $\angle AEB = \angle ACF$, nên $\angle ACF = \angle AIE$.

Từ đó suy ra $\angle CEF = \angle AEF - \angle AEC = \angle ACF - \angle AIE = \angle AIF$.

Vậy $EI$ là đường cao của tam giác $ACE$, nên tứ giác $ACEF$ là hình thang vuông.