a) Để tính mômen quán tính của hệ đối với trục z, ta sử dụng công thức:

Iz = Σmiri^2

Trong đó, mi là khối lượng của hạt i, ri là khoảng cách từ hạt i đến trục z.

Ta cần tính ri cho từng hạt. Với hạt 1, ta có:

r1 = √(6^2 + 4^2) = √52

Với hạt 2, ta có:

r2 = √(2^2 + 2^2) = 2√2

Với hạt 3, ta có:

r3 = √(6^2 + 2^2) = √40

Với hạt 4, ta có:

r4 = √(6^2 + 0^2) = 6

Thay giá trị vào công thức, ta có:

Iz = (3.00 kg)(√52)^2 + (2.00 kg)(2√2)^2 + (2.00 kg)(√40)^2 + (4.00 kg)(6)^2

= 12(13 + 8 + 10 + 36)

= 1872 kg.m^2

Vậy mômen quán tính của hệ đối với trục z là 1872 kg.m^2.

b) Động năng quay của hệ được tính bằng công thức:

K = (1/2)Iω^2

Trong đó, I là mômen quán tính của hệ đối với trục z, ω là tốc độ góc của hệ quay quanh trục z.

Thay giá trị vào công thức, ta có:

K = (1/2)(1872 kg.m^2)(6.00 rad/s)^2

= 101088 J

Vậy động năng quay của hệ là 101088 J.