a) Giả sử tia AI giao với BC tại điểm M là trung điểm BC.

Chứng minh:
Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên đường cao BD cắt AB tại trung điểm E (điều này suy ra từ tính chất của tam giác cân). Vì M là trung điểm BC, nên ta có BM = MC.

Khi đó, theo định lí thales, ta có:
AE/EB = AM/MC.

Tuy nhiên, vì E là trung điểm AB, nên ta có:
AE/EB = 1.

Vì vậy, ta có:
AM/MC = 1.

Do đó, M là trung điểm BC.

b) Chứng minh tam giác MED là tam giác cân.

Chứng minh:
Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên đường cao BD cắt AC tại trung điểm D (điều này suy ra từ tính chất của tam giác cân). Vì M là trung điểm BC, nên ta có BM = MC.

Vì I là giao điểm của hai đường cao BD và BE, nên I cũng nằm trên đường cao BD. Do đó, ta có ID = BD.

Vì BM = MC và ID = BD, nên theo tính chất của trung điểm, ta có ME = ED.

Vậy, ta có MED là tam giác cân, với ME = ED.