a) Ta có:
$$\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2}$$
$$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}=2$$
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng BI ta có:
$$\frac{AD}{DC}\cdot\frac{CB}{BA}\cdot\frac{IM}{MI}=1$$
Thay giá trị vào ta được:
$$\frac{IM}{MI}=\frac{1}{2}$$
Vậy I là trung điểm của AM.

b) Ta có:
$$\frac{IM}{MI}=1$$
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng BI ta có:
$$\frac{AD}{DC}\cdot\frac{CB}{BA}\cdot\frac{IM}{MI}=1$$
Thay giá trị vào ta được:
$$\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$$
Vậy:
$$\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2}$$
$$\frac{ID}{BD}=\frac{1}{4}$$

c) Ta có:
$$\frac{AB}{AE}=3$$
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng AM ta có:
$$\frac{CE}{EB}\cdot\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AM}{MI}=1$$
Thay giá trị vào ta được:
$$\frac{CE}{EB}=\frac{1}{2}$$
Vậy BD, CE, AM đồng quy.