a) Ta có tam giác vuông ABC tại A, với AB = 12 cm và BC = 20 cm.
Gọi D trên tia đối của AB sao cho AB = AD = a.
Theo định lí Pythagoras, ta có:
AC² = AB² + BC²
AC² = (12)² + (20)²
AC² = 144 + 400
AC² = 544
AC = √544
AC = 4√34 cm

b) Ta có ΔBCD cân tại B, với BM là đường trung bình của ΔBCD.
Vì BM là đường trung bình của ΔBCD, nên BM cắt CD tại M sao cho CM = MD.
Vì ΔBCD cân tại B, nên BM là đường phân giác của góc BCD.
Do đó, góc BCM = góc MCB.
Vì BM cắt AC tại K, nên góc BKC = góc BCM.
Vậy góc BKC = góc MCB.

c) Gọi N là trung điểm của BC.
Ta có BM là đường trung bình của ΔBCD, nên BM cắt DN tại N sao cho DN = 2BN.
Vì N là trung điểm của BC, nên DN = NC.
Vậy DN = NC = BN.
Do đó, 3 điểm D, K, N thẳng hàng.