Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng

Để chứng minh các công thức trên, ta sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn và định lí Py-ta-go.

a) Ta có:
- Từ định nghĩa, ta có: tanα = sinα/cosα và cotα = cosα/sinα.
- Nhân cả hai vế của phương trình tanα = sinα/cosα với cosα, ta được: tanα.cosα = sinα.
- Tương tự, nhân cả hai vế của phương trình cotα = cosα/sinα với sinα, ta được: cotα.sinα = cosα.
- Đặt A = tanα.cosα và B = cotα.sinα, ta có A = sinα và B = cosα.
- Từ định nghĩa, ta có: tan� = sin�/cos� và cot� = cos�/sin�.
- Nhân cả hai vế của phương trình tan� = sin�/cos� với cos�, ta được: tan�.cos� = sin�.
- Tương tự, nhân cả hai vế của phương trình cot� = cos�/sin� với sin�, ta được: cot�.sin� = cos�.
- Đặt C = tan�.cos� và D = cot�.sin�, ta có C = sin� và D = cos�.
- Vì α và � là cùng một góc, nên A = C và B = D.
- Từ đó, ta có: tanα.cosα = tan�.cos� và cotα.sinα = cot�.sin�.
- Từ đó, ta có: tanα.cosα = cot�.sin� và cotα.sinα = tan�.cos�.
- Kết hợp hai phương trình trên, ta có: tanα.cosα = cot�.sin� = 1.
- Từ đó, ta có: tanα.cotα = 1.

b) Ta có:
- Từ định nghĩa, ta có: sin2α = sinα.sinα và cos2α = cosα.cosα.
- Từ định lí Py-ta-go, ta có: sin2α + cos2α = 1.

Vậy, ta đã chứng minh được các công thức trên.