a) Chứng minh tam giác BCM là tam giác đều:
Gọi góc BAC = α, góc ABC = β, góc BCA = γ.
Vì tam giác ABC có góc A = 60 độ, nên góc B + góc C = 180 - 60 = 120 độ.
Gọi góc BCD = x, góc BCE = y.
Do tia phân giác của góc B cắt AC ở D, nên góc BDC = góc BCD = x.
Do tia phân giác của góc C cắt AB ở E, nên góc BEC = góc BCE = y.
Ta có: góc BDC + góc BEC = x + y = góc BAC = α.
Vì góc B + góc C = 120 độ, nên góc BDC + góc BEC = 120 độ.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
x + y = α
x + y = 120
Suy ra α = 120.
Vậy tam giác BCM là tam giác đều.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để D và E cách đều đường thẳng BC:
Gọi H là trung điểm của BC.
Vì BF = BE, nên tam giác BFE là tam giác cân tại F.
Do đó, BF là đường phân giác của góc BFE.
Vì BF = BE, nên góc BFE = góc BEF = 1/2 * góc B.
Tương tự, góc CEF = góc CFE = 1/2 * góc C.
Vì BD là đường phân giác của góc B, nên góc BDI = góc BID = 1/2 * góc B.
Vì CE là đường phân giác của góc C, nên góc CEI = góc CEI = 1/2 * góc C.
Ta có: góc BDI + góc CEI = 1/2 * góc B + 1/2 * góc C = 1/2 * (góc B + góc C) = 1/2 * 120 = 60.
Vậy góc BDI + góc CEI = 60.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
1/2 * góc B + 1/2 * góc C = 60
góc B + góc C = 120
Suy ra góc B = 60 và góc C = 60.
Vậy điều kiện của tam giác ABC để D và E cách đều đường thẳng BC là góc B = góc C = 60 độ.