Cho tam giác nhọn ABC có AD và BE là hai đường cao, cos ACB = 1/4, DE = 2√3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lí cosin trong tam giác ABC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

Theo định lí cosin, ta có:
AC² = AD² + CD²
BC² = BE² + CE²

Vì AD và BE là hai đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
AD = 2R
BE = 2R

Vì cos(ACB) = 1/4, ta có:
cos(ACB) = cos(C) = (AB² + BC² - AC²) / (2AB * BC)
1/4 = (AB² + BC² - AC²) / (2AB * BC)

Ta có AB = BC (vì tam giác ABC là tam giác đều), nên:
1/4 = (AB² + AB² - AC²) / (2AB * AB)
1/4 = (2AB² - AC²) / (2AB²)
1/2 = (2AB² - AC²) / AB²
AB² = 4(2AB² - AC²)
AB² = 8AB² - 4AC²
7AB² = 4AC²
AB²/AC² = 4/7

Vì DE là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
DE² = AC² - AD²
DE² = AC² - (2R)²
DE² = AC² - 4R²
2√3 = AC - 2R

Giải hệ phương trình:
AB²/AC² = 4/7
AC - 2R = 2√3

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
AB² = (4/7)AC²
AB = (2/√7)AC

Thay AB = BC vào phương trình thứ hai, ta có:
(2/√7)AC - 2R = 2√3
(2/√7)AC = 2R + 2√3
AC = (√7/2)(R + √3)

Thay AC vào phương trình AB = (2/√7)AC, ta có:
AB = (2/√7)(√7/2)(R + √3)
AB = R + √3

Từ đó, ta có:
R + √3 = (√7/2)(R + √3)
R + √3 = (√7/2)R + (√7/2)√3
R + √3 = (√7/2)R + (√21/2)
(1 - √7/2)R = (√21/2) - √3
R = [(√21/2) - √3] / (1 - √7/2)

Tính toán giá trị của R, ta có:
R ≈ 1.35

Vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là khoảng 1.35.