a) BHCK là hình thoi.
Để chứng minh BHCK là hình thoi, ta cần chứng minh BH = CK và BH // CK.
Ta có:
- BH là đường cao của tam giác ABC, nên BH vuông góc với AC.
- CK là đường cao của tam giác ABC, nên CK vuông góc với AB.
Vậy BH // CK.
Ta cũng có:
- BH là đường cao của tam giác ABC, nên BH vuông góc với AC.
- CK là đường cao của tam giác ABC, nên CK vuông góc với AB.
Vậy BHCK là hình thoi.

b) Chứng minh IM = 1/2 AH.
Ta có:
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- I là trung điểm của AK, nên AI = IK.
- AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.
Vậy AH // BC.
Do đó, ta có hai tam giác IMB và AHB đồng dạng (cùng có hai góc vuông).
Vì vậy, ta có tỉ số đồng dạng: IM/AB = AH/AB.
Vì BM = MC và AI = IK, nên AB = 2IM và AB = 2AH.
Từ đó, ta có IM/AB = AH/AB = 1/2.
Vậy IM = 1/2 AH.

Tam giác ABC có thêm điều kiện là ABC là tam giác vuông tại A.